Question

已知正三棱錐P-ABC中，E、F分別是AC，PC的中點，若EF⊥BF，AB=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：球

分析：證明以PA、PB、PC為從同一點P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，求出半徑即可求解球的表面積．

解答： 解：∵E、F分別是AC，PC的中點，∴EF∥PA，
∵P-ABC是正三棱錐，
∴PA⊥BC（對棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC為從同一點P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的體對角線就是外接球的直徑，
又AB=2，∴PA=

2

，
∴2R=

3

PA=

6

，
∴R=

6

2

，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為：4πR²=4π×(

6

2

)2=6π．
故答案為：6π．

點評：本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷幾何體與球的關系，求出球的半徑是解題的關鍵．