Question

已知圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x-1被圓C所截得的弦長為2

2

．
（1）求過圓心且與直線l垂直的直線m方程；
（2）點P在直線m上，求以A（-1，0），B（1，0）為焦點且過P點的長軸長最小的橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先確定圓的圓心坐標，再根據直線l：y=x-1確定直線的斜率，從而可求過圓心且與直線l垂直的直線m方程；
（2）設B關于直線m對稱的點的坐標為Q（3，2），則|PB|=|PQ|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|，從而可求以A（-1，0），B（1，0）為焦點且過P點的長軸長最小的橢圓的方程．

解答：解：（1）根據題意畫出圖形，如圖所示，
直線l：y=x-1被圓C所截得的弦的端點分別為B，Q，
設弦BQ的中點為H，在直角三角形BCH中，∠HBC=45°，|BH|=

1

2

|BQ|=

2

，
∴|BC|=2，即圓C的半徑為2，
∴圓心C的坐標為（3，0），
∴過圓心且與直線l垂直的直線m方程為：y=-（x-3），即x+y-3=0．
（2）設B關于直線m對稱的點的坐標為Q（x，y）
∴

x+1 2 + y 2 -3=0 y x-1 =1

，∴

x=3 y=2

∴Q（3，2），則|PB|=|PQ|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|=2

5

，
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴2a=2

5

，2c=2
∴b²=4
∵橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1

點評：本題重點考查直線與橢圓的方程，考查點關于直線的對稱問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．