已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長為2
2

(1)求過圓心且與直線l垂直的直線m方程;
(2)點P在直線m上,求以A(-1,0),B(1,0)為焦點且過P點的長軸長最小的橢圓的方程.
分析:(1)先確定圓的圓心坐標(biāo),再根據(jù)直線l:y=x-1確定直線的斜率,從而可求過圓心且與直線l垂直的直線m方程;
(2)設(shè)B關(guān)于直線m對稱的點的坐標(biāo)為Q(3,2),則|PB|=|PQ|,故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|,從而可求以A(-1,0),B(1,0)為焦點且過P點的長軸長最小的橢圓的方程.
解答:解:(1)根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,
直線l:y=x-1被圓C所截得的弦的端點分別為B,Q,
設(shè)弦BQ的中點為H,在直角三角形BCH中,∠HBC=45°,|BH|=
1
2
|BQ|=
2

∴|BC|=2,即圓C的半徑為2,
∴圓心C的坐標(biāo)為(3,0),
∴過圓心且與直線l垂直的直線m方程為:y=-(x-3),即x+y-3=0.
(2)設(shè)B關(guān)于直線m對稱的點的坐標(biāo)為Q(x,y)
x+1
2
+
y
2
-3=0
y
x-1
=1
,∴
x=3
y=2

∴Q(3,2),則|PB|=|PQ|,故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|=2
5
,
設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

2a=2
5
,2c=2
∴b2=4
∵橢圓方程為
x2
5
+
y2
4
=1
點評:本題重點考查直線與橢圓的方程,考查點關(guān)于直線的對稱問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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