Question

4．已知圓P：（x-m）²+（y-m）²=1（m＞0）與直線y=3x相交于A、B兩點，則當△ABP的面積為$\frac{1}{2}$時，實數(shù)m的值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標與半徑，利用圓心到直線的距離與半弦長求解三角形的面積，然后求出最大值即可．

解答 解：圓C：（x-m）²+（y-m）²=1（m＞0）的圓心（m，m）半徑為1，
圓心到直線的距離d=$\frac{2m}{\sqrt{10}}$，半弦長為：$\frac{\sqrt{10-4{m}^{2}}}{\sqrt{10}}$，
∴△ABP的面積S=$\frac{2m}{\sqrt{10}}$•$\frac{\sqrt{10-4{m}^{2}}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10{m}^{2}-4{m}^{4}}}{5}$，
當m²=$\frac{5}{4}$時10m²-4m⁴取得最大值，最大值為：$\frac{25}{4}$，
∴△ABP的面積S的最大值為：$\frac{1}{2}$．
此時m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形面積的最值的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用等知識，考查分析問題解決問題的能力．