Question

【題目】已知定點(diǎn) ， 為圓 上任意一點(diǎn)，線段 上一點(diǎn) 滿足 ，直線 上一點(diǎn) ，滿足 .
（1）當(dāng) 在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) 的軌跡 的方程；
（2）若直線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，且以 為直徑的圓過原點(diǎn) ，求證：直線 與 不可能相切.

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，直線 上一點(diǎn) ，滿足 ，可得 時(shí)線段 的垂直平分線，求出圓 的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ，得到 ，點(diǎn)Q的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，長軸長為 的橢圓，即2a= ，2c= ，∴b= ．
所以點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：
（2）解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+m ， A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，
得 消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．
因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以
△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，化簡得：m2＜6k2+3①
由韋達(dá)定理得： ．
∴ ．
∵ ，∴x1x2+y1y2=0，即 ，
整理得m2=2k2+2滿足①式，∴d= ，即原點(diǎn)到直線l為的距離是 ，
∴直線l與圓x2+y2=4相交．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m ， 與橢圓C交點(diǎn)為A（m ， ），B（m ， ）
∵ ，∴ ．
此時(shí)直線為x= ，顯然也與圓x2+y2=4相交．
綜上，直線l與定圓E：x2+y2=4不可能相切
【解析】（1）本題最重?cái)?shù)形結(jié)合的思想，先畫出草圖，將數(shù)據(jù)標(biāo)到圖上，使題目清晰化。再根據(jù)線段長度之間的關(guān)系，得到Q點(diǎn)到F1 ， F2兩點(diǎn)的距離之和為一定值，且大于F1和F2間的距離，故滿足橢圓定義，可知曲線C是一橢圓，即可得到結(jié)果。
（2）先根據(jù)條件設(shè)出直線，聯(lián)立消元得到一元二次方程，由相交于兩點(diǎn)可得；以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，故可得；，由以上兩個(gè)條件可得k和m關(guān)系，然后用點(diǎn)到直線的距離公式，看原點(diǎn)到直線的距離是否滿足證明，即距離不等于2。
【考點(diǎn)精析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知點(diǎn)到直線的距離為：；平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．