Question

9．下列結論正確的是（　　）

• A． 當x＞0且x≠1時，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2
• B． x＞0時，6-x-$\frac{4}{x}$的最大值是2
• C． $\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值是2
• D． 當x∈（0，π）時，sinx+$\frac{4}{sinx}$≥4

Answer 1

分析 由基本不等式的規(guī)律，逐個選項驗證可得．

解答 解：選項A，lgx可能為負值，故lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2錯誤；
選項B，6-x-$\frac{4}{x}$=6-（x+$\frac{4}{x}$），而x+$\frac{4}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，或x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4，
故6-（x+$\frac{4}{x}$）≤2，故B正確；
選項C，$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，
當且僅當$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即$\sqrt{{x}^{2}+4}$=1時取等號，
此時x²=-3，故等號取不到，故$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$＞2，取不到2，故錯誤；
選項D，當x∈（0，π）時，sinx＞0，由基本不等式可得
sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，sinx取不到2 故不正確．
故選：D

點評 本題考查基本不等式，逐個驗證是解決問題的關鍵，屬中檔題．