9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an≠0,6Sn=anan+1+2,其中n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{n}{{a}_{n}(2{S}_{n}+n)}$(n∈N*),Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<$\frac{1}{6}$(n∈N*).

分析 (1)利用遞推關(guān)系及其等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出;
(2)Sn=$\frac{n(3n+1)}{2}$,可得bn=$\frac{n}{(3n-1)(3{n}^{2}+2n)}$=$\frac{1}{3}(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2})$,再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.

解答 (1)解:∵6Sn=anan+1+2,其中n∈N*
∴當(dāng)n=1時(shí),6a1=a1a2+2,即6×2=2a2+2,解得a2=5.
當(dāng)n≥2時(shí),6an=6Sn-6Sn-1=anan+1+2-(an-1an+2),an≠0,化為:an+1-an-1=6.
又a2-a1=3,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為3,首項(xiàng)為2.
∴an=2+3(n-1)=3n-1.
(2)證明:Sn=$\frac{n(2+3n-1)}{2}$=$\frac{n(3n+1)}{2}$.
bn=$\frac{n}{{a}_{n}(2{S}_{n}+n)}$=$\frac{n}{(3n-1)(3{n}^{2}+2n)}$=$\frac{1}{3}(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2})$,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tnz=$\frac{1}{3}[(\frac{1}{2}-\frac{1}{5})$+$(\frac{1}{5}-\frac{1}{8})$+…+$(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2})]$
=$\frac{1}{3}$$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2})$<$\frac{1}{6}$.
∴Tn<$\frac{1}{6}$(n∈N*).

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和;
(3)設(shè)cn=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$,Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<$\frac{25}{36}$.

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14.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-1,an+1=2Sn(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn

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