Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n≠0，6S_n=a_na_n+1+2，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}（2{S}_{n}+n）}$（n∈N^*），T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系及其等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（3n+1）}{2}$，可得b_n=$\frac{n}{（3n-1）（3{n}^{2}+2n）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：∵6S_n=a_na_n+1+2，其中n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，6a₁=a₁a₂+2，即6×2=2a₂+2，解得a₂=5．
當(dāng)n≥2時(shí)，6a_n=6S_n-6S_n-1=a_na_n+1+2-（a_n-1a_n+2），a_n≠0，化為：a_n+1-a_n-1=6．
又a₂-a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）證明：S_n=$\frac{n（2+3n-1）}{2}$=$\frac{n（3n+1）}{2}$．
b_n=$\frac{n}{{a}_{n}（2{S}_{n}+n）}$=$\frac{n}{（3n-1）（3{n}^{2}+2n）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_nz=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．
∴T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．