Question

1．已知點A（-1，0），B（1，0），直線l：x+y=2交x軸于點C，交y軸于點D
（1）若點P是線段CD上的任意一點，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍；
（2）若點P是直線l上的任意一點，求|PA|+|PB|的最小值，以及取到最小值時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)出點P（x，y），x∈[0，2]；利用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍；
（2）根據(jù)題意，求出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接BA′交直線l于點P，|PA|+|PB|的最小值為|BA′|

解答 解：（1）∵點A（-1，0），B（1，0），直線l：x+y=2交x軸于點C，交y軸于點D；
設(shè)點P（x，y），x∈[0，2]；
∴$\overrightarrow{PA}$=（-1-x，-y），$\overrightarrow{PB}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-1-x）（1-x）+y²=x²+y²-1=x²+（2-x）²-1=2（x-1）²+1，
當(dāng)x∈[0，2]時，1≤2（x-1）²+1≤3，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[1，3]；
（2）設(shè)A（-1，0）關(guān)于直線l：x+y=2的對稱點為A′（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}•（-1）=-1}\\{\frac{m-1}{2}+\frac{n}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
即A′（2，3）；
連接BA′交直線l于點P，
則|PA|+|PB|的最小值為|BA′|=$\sqrt{{（2-1）}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
BA′的直線方程為$\frac{y}{3}$=$\frac{x-1}{2-1}$，
與直線l的方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=3（x-1）}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，求出點P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查了點關(guān)于直線的對稱點的求法以及兩點間的距離公式應(yīng)用問題，也考查了計算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．