Question

13．一副直角三角板（如圖1）拼接，將△BCD折起，得到三棱錐A-BCD（如圖2）．
（1）若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，求證：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得EF∥AC，即可證明EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因?yàn)锳B⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可證明：平面ABD⊥平面ACD．

解答 證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC．   …（2分）
又EF?平面ACD，AC?平面ACD，所以EF∥平面ACD．    …（6分）
（2）因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
CD?平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．         …（8分）
因?yàn)锳B?平面ABC，所以CD⊥AB．                    …（10分）
又因?yàn)锳B⊥AC，AC∩CD=C，AC?平面ACD，CD?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD．                               …（12分）
又AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．         …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．