Question

20．函數(shù)f（x）=-x（x-a）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）函數(shù)$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$圖象開口向下，對稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$，對$\frac{a}{2}$與區(qū)間端點(diǎn)±1的大小關(guān)系分類討論即并且結(jié)合圖象可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-∞，1]，單調(diào)減區(qū)間[1，+∞）．
（2）函數(shù)$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$圖象開口向下，對稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$，
1：當(dāng)$\frac{a}{2}＜-1$，即a＜-2時(shí)，由圖可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y_max=-a-1；
2：當(dāng)$-1≤\frac{a}{2}≤1$，即-2≤a≤2時(shí)，由圖可知，當(dāng)$x=\frac{a}{2}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{a^2}{4}$；
3：當(dāng)$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2時(shí)，由圖可知，當(dāng)x=1時(shí)，y_max=a-1；

故${y_{max}}=\left\{\begin{array}{l}-（a+1）\;，\;a＜-2\\ \frac{a^2}{4}\;，\;-2≤a≤2\\ a-1\;，\;a＞2\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．