Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4），b∈R．
（1）若b＜0，且當(dāng)x∈[-

1

a

，0]時(shí)，f（x）∈[-

3

a

，0]，求a，b的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（1，2），若存在，請(qǐng)給出一對(duì)實(shí)數(shù)a，b；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4）的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-

b

2a

為對(duì)稱軸的拋物線，故當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上為減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的定義域和值域，可構(gòu)造方程組，解方程組求出a，b的值；
（2）若f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（1，2），則f（1）•f（2）＜0，即（a+b-1）（4a+2b-1）＜0，舉出正例可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4）的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-

b

2a

為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上為減函數(shù)，
又∵f（x）∈[-

3

a

，0]，
∴f（0）=1=-

3

a

，且f（-

1

a

）=

1

a

-

b

a

-1=0，
解得：a=-3，b=4，
（2）若f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（1，2），
則f（1）•f（2）＜0，
即（a+b-1）（4a+2b-1）＜0，
當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，滿足要求

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理是解答的關(guān)鍵．