Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1，g（x）=2x+2a（a∈R）
（1）若對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≥

1

2

g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)m（x）=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

，求m（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)可知，不等式f（x）≥

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g（x）恒成立，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于△=（2a-1）²-4（1-a）≤0，求解即可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若2a-1=-1，即a=0時(shí)，f（x）-g（x）=x²+1-2x=（x-1）²≥0恒成立，此時(shí)f（x）≥g（x）恒成立，故此時(shí)m（x）=g（x）=2x；若2a-1≠-1，即a≠0時(shí)，f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)1-2a，1，即f（x），g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分類討論m（x）在x∈[2，4]上的最小值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）若不等式f（x）≥

1

2

g（x）恒成立，
即x²+（2a-1）x+（1-a）≥0恒成立，
即△=（2a-1）²-4（1-a）≤0，
即4a²-3≤0，
解得a∈[-

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2

，

3

2

]，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[-

3

2

，

3

2

]；
（2）f（x）-g（x）=x²+（2a-2）x+（1-2a）=[x+（2a-1）]（x-1），
若2a-1=-1，即a=0時(shí)，
f（x）-g（x）=x²+1-2x=（x-1）²≥0恒成立，此時(shí)f（x）≥g（x）恒成立，
故此時(shí)m（x）=g（x）=2x，
由m（x）在x∈[2，4]上為增函數(shù)，故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（2）=4；
若2a-1≠-1，即a≠0時(shí)，
f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)1-2a，1，
即f（x），g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：

若1-2a＜1，即a＞0時(shí)，

m（x）在x∈[2，4]上為增函數(shù)，故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（2）=g（2）=4+2a；
若1-2a＞1，即a＜0時(shí)，

當(dāng)-a＞4，即a＜-4時(shí)，m（x）在x∈[2，4]上為減函數(shù)，
故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（4）=f（4）=17+8a；
當(dāng)2≤-a≤4，即-4≤a≤-2時(shí)，m（x）在x∈[2，-a]上為減函數(shù)，在x∈[-a，4]上為增函數(shù)，
故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（-a）=f（-a）=1-a²；
當(dāng)-a＜2＜1-2a，即-2＜a＜-

1

2

時(shí)，m（x）在x∈[2，4]上為增函數(shù)，
故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（2）=f（2）=5+4a；
當(dāng)2≥1-2a，即-

1

2

≤a＜0時(shí)，m（x）在x∈[2，4]上為增函數(shù)，
故此時(shí)m（x）在x∈[2，4]上的最小值為m（2）=g（2）=4+2a；
綜上所述：m（x）在x∈[2，4]上的最小值為：

17+8a，a∈(-∞，-4) 1-a2，a∈[-4，-2] 5+4a，a∈(-2，- 1 2 ) 4+2a，a∈[- 1 2 ，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，（2）的關(guān)鍵是確定正確的分類標(biāo)準(zhǔn)．