Question

如圖，半圓O的直徑AB=7，兩弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弦CD=

7

2

，且BD=5，則DE等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對應(yīng)角，易證得△AEB∽△DEC，根據(jù)CD、AB的長，即可求出兩個三角形的相似比；設(shè)BE=x，則DE=5-x，然后根據(jù)相似比表示出AE、EC的長，連接BC，首先在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理求得BC的表達(dá)式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，進(jìn)而可求出DE的長．

解答：解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

CD

AB

=

1

2

；
設(shè)BE=x，則DE=5-x，EC=

1

2

x，AE=2（5-x）；
連接BC，則∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=

1

2

x，則BC=

3

2

x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-

3

2

x，BC=

3

2

x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：7²=（10-

3

2

x）²+（

3

2

x）²，
整理，得x²-10x+17=0，解得x₁=5+2

2

，x₂=5-2

2

；
由于x＜5，故x=5-2

2

；
則DE=BD-BE=2

2

．
故答案為2

2

．
方法二：
設(shè)DE=x，連接AD
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

CD

AB

=

1

2

則AE=2x
在Rt△ADB中，AD²=49-25=24
在Rt△ADE中，AD²=x²+（2x）²=24，解得x=2

2

故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識；本題要特別注意的是BE、DE不是相似三角形的對應(yīng)邊，它們的比不等于相似比，以免造成錯解．