Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為：；的直角坐標(biāo)方程為：；（Ⅱ）

【解析】

（I）消去參數(shù)，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合，即可得到曲線的極坐標(biāo)方程。（II）計(jì)算直線l的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程，計(jì)算長(zhǎng)，即可。

解法一：（Ⅰ）曲線：（為參數(shù)）可化為直角坐標(biāo)方程：，

即，

可得，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為：.

曲線：，即，

則的直角坐標(biāo)方程為：.

（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為，

所以的極坐標(biāo)方程為.

聯(lián)立，得，

聯(lián)立，得，

.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為，

聯(lián)立，解得，

聯(lián)立，解得，

所以.