Question

關于二項式（x-1）²⁰¹³有下列命題：
（1）該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；
（2）該二項展開式中第六項為；
（3）該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1007項；
（4）當x=2014時，（x-1）²⁰¹³除以2014的余數(shù)是2013．
其中正確命題有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：利用賦值求出各項系數(shù)和，判斷出命題（1）正確；利用二項展開式的通項公式求出第六項，判斷出命題（2）錯誤；據(jù)二項展開式的二項式系數(shù)的性質：中間項的二項式系數(shù)最大，判斷出命題（3）正確；利用二項式定理將二項式展開，判斷出命題（4）正確．
解答：解：此二項展開式各項系數(shù)的和為0，其常數(shù)項為-1，故（1）正確；
其第六項T₆=C₂₀₁₃⁵x^2013-5•（-1）⁵=-C₂₀₁₃⁵x²⁰⁰⁸，故（2）錯；
該二項展開式共有2014項，奇數(shù)項系數(shù)為正、偶數(shù)項系數(shù)為負，
由二項式系數(shù)的性質知第1007項與1008項系數(shù)的絕對值最大，故（3）正確；
（x-1）²⁰¹³=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²x）-1=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²-1）x+x-1．當x=2014時，被2014除的余數(shù)為2014-1=2013．故（4）正確．
其中正確命題有3個．
故選C．
點評：本題考查求展開式的系數(shù)和的方法是賦值法，考查二項展開式的通項公式解決展開式的特定項問題，考查展開式的二項式系數(shù)的性質．屬于中檔題．