Question

1．已知點列${A_n}（{{a_n}，{b_n}}）（{n∈{N^*}}）$是函數y=a^x（a＞0，a≠1）圖象上的點，點列B_n（n，0）滿足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，若數列{b_n}中任意相鄰三項能構成三角形三邊，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $0＜a＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$或$a＞\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜a＜1$或$1＜a＜\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $0＜a＜\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$或$a＞\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜a＜1$或$1＜a＜\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 根據題意，得出a_n、b_n的解析式，討論a＞1和0＜a＜1時，滿足的條件，從而求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得，點B_n（n，0），A_n（a_n，b_n）滿足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，
由中點坐標公式，可得B_nB_n+1的中點為（n+$\frac{1}{2}$，0），
即a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$；
當a＞1時，以b_n-1，b_n，b_n+1為邊長能構成一個三角形，
只需b_n-1+b_n+1＞b_n，
b_n-1＜b_n＜b_n+1，
即${a}^{n-\frac{1}{2}}$+${a}^{n+\frac{3}{2}}$＞${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
即有1+a²＜a，
解得1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
同理，0＜a＜1時，解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1；
綜上，a的取值范圍是1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1，
故選B．

點評 本題考查了指數函數的圖象與性質的應用問題，也考查了數列遞推公式的應用問題，考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．