Question

11．已知函數(shù)y=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos（$\frac{π}{3}$+2x）（x∈R）．
（1）求函數(shù)的周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得y=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得單調(diào)遞減區(qū)間；同理可得增區(qū)間．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得y=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos（$\frac{π}{3}$+2x）
=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-2x）]=3sin（$\frac{π}{6}$-2x）-sin（$\frac{π}{6}$-2x）
=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，π+$\frac{π}{3}$]k∈Z；
同理由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．