Question

14．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}$=1的兩焦點(diǎn)，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=1，若直線l：y=$\sqrt{2}$x+m（m∈（0，a]且a∈R）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若△PAB的面積的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），由橢圓方程求得左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$求得P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，再根據(jù)P在橢圓上得另一關(guān)系式，聯(lián)立即可求得P的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于0求出m的范圍，然后分別利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出弦AB的長及點(diǎn)P到直線AB的距離，代入三角形的面積公式后換元，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值，并由最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$列式求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），
由橢圓方程可得${F_1}（0，\sqrt{2}）$，${F_2}（0，-\sqrt{2}）$，
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-{x}_{0}，\sqrt{2}-{y}_{0}），\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-{x}_{0}，-\sqrt{2}-{y}_{0}）$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$，∴$（-{x_0}，\sqrt{2}-{y_0}）•$$（-{x_0}，-\sqrt{2}-{y_0}）=x_0^2-2+y_0^2=1$，
即$x_0^2+y_0^2=3$  ①，
又P是橢圓上一點(diǎn)，∴$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{4}=1$，②
聯(lián)立①②得，$x_0^2=1，y_0^2=2$，
又x₀＞0，y₀＞0，∴${x_0}=1，{y_0}=\sqrt{2}$．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{2}）$；
（2）∵直線AB的方程為$y=\sqrt{2}x+m$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，消去y得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$，
由△＞0，得$m∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，
又0＜m≤a，則$0＜a＜2\sqrt{2}$．
點(diǎn)P（1，$\sqrt{2}$）到直線AB的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}$，
又$|{AB}|=\sqrt{3}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{3（4-\frac{1}{2}{m^2}）}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\sqrt{\frac{1}{8}m{\;}^2（8-{m^2}）}$．
令t=m²，則0＜t≤a²，
∴${S_{△PAB}}=\sqrt{\frac{1}{8}t（8-t）}$，
令g（t）=t（8-t）（0＜t≤a²），g（t）是二次函數(shù)，其圖象是開口向下的拋物線，
對稱軸為t=4，且g（4）=16．
又△PAB面積的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$時(shí)，g（t）也有最大值為12＜g（4）=16，
故a²＜4，
∴g（t）在（0，a²]單調(diào)遞增，∴$g{（t）_{max}}=g（{a^2}）={a^2}（8-{a^2}）=12$．
解得a²=2或a²=6（舍去）．
∴當(dāng)a²=2，即$a=\sqrt{2}$（滿足$0＜a＜2\sqrt{2}$）時(shí)，△PAB面積的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，該題還運(yùn)用了換元法和函數(shù)的單調(diào)性求最值，綜合性強(qiáng)．