Question

19．橢圓T的中心為坐標原點O，右焦點為F（2，0），且橢圓T過點E（2，$\sqrt{2}$）．△ABC的三個頂點都在橢圓T上，設三條邊的中點分別為M，N，P．
（1）求橢圓T的離心率；
（2）設△ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且ki≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為0，求證：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓T的方程，由橢圓定義求得a，則橢圓的離心率可求；
（2）由（1）求出橢圓T的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），由A，B在橢圓上，把A，B坐標代入橢圓方程，兩式相減得到$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$，$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$，作和后證得答案．

解答 （1）解：設橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
由題意知：左焦點為F′（-2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
解得：$a=2\sqrt{2}，b=2，c=2$．
故橢圓T的離心率為$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：由（1）知橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8$，兩式相減，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}$，即$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，
同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$，$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$．
∴$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}+\frac{1}{{k}_{3}}=-2（\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}+\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}+\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}）$，
又∵直線OM、ON、OP的斜率之和為0，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=0為定值．

點評 本題主要考查圓錐曲線的定義的應用，試題在平面幾何中的三角形中位線定理、初中代數(shù)中的等比定理和圓錐曲線的定義之間進行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口，是中檔題．