Question

16．已知函數y=f（x）是定義域為R的奇函數．當x≥0時f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，0≤x≤1}\\{f（x-1）+1，x＞1}\end{array}}\right.$．若恰有5個不同的實數x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，則實數m的值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$-2
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知中恰有5個不同的實數x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，可得f（x）=mx有且僅有兩個正根，則m＞0，且y=mx的圖象，與y=f（x），x∈[1，2]的圖象相切，進而可得答案．

解答 解：∵函數y=f（x）是定義域為R的奇函數．x≥0時f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，0≤x≤1}\\{f（x-1）+1，x＞1}\end{array}}\right.$．
∴f（0）=0，
若恰有5個不同的實數x₁，x₂，…，x₅，使得f（x）=mx成立，
則f（x）=mx有且僅有兩個正根，
則m＞0，
且y=mx的圖象，與y=f（x），x∈[1，2]的圖象相切，
由y=f（x）=（x-1）²+1，x∈[1，2]，
故mx=（x-1）²+1有且只有一個解，
即x²-（m+2）x+2=0的△=0，
解得：m=2$\sqrt{2}$-2，或m=-2$\sqrt{2}$-2（舍去），
故m=2$\sqrt{2}$-2，
故選：B

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中結合函數奇偶性的函數特征，分析出f（x）=mx有且僅有兩個正根，是解答的關鍵．