Question

分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦•B•曼德爾布羅特（Benoit B．Mandelbrot）在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)學(xué)科眾多領(lǐng)域難題提供了全新的思路．如圖是按照規(guī)則：1個(gè)空心圓點(diǎn)到下一行僅生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)和1個(gè)空心圓點(diǎn)．所形成的一個(gè)樹形圖，則第11行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：高考數(shù)學(xué)專題,推理和證明

分析：本題是一個(gè)探究型的題，可以看到第四行起每一行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是前兩行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的和，由此可以得到一個(gè)遞推關(guān)系，利用此遞推關(guān)系求解即可．

解答： 解：由題意及圖形知不妨構(gòu)造這樣一個(gè)數(shù)列{a_n}表示實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，令a₁=1，a₂=1，n≥3時(shí)，a_n=a_n-1+a_n-2，本數(shù)列中的n對(duì)應(yīng)著圖形中的第n+1行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由此知a₁₀即所求．
故各行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
a₁₀=89，即第11行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是55．
故答案為：55．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，是一個(gè)新定義的題，此類題關(guān)鍵是從定義中找出其規(guī)律來，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，本題中所蘊(yùn)含的規(guī)律是從第三項(xiàng)開始每一行中點(diǎn)數(shù)是前兩項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)的和，利用此規(guī)律求解