Question

13．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率是橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1的二倍，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x
• B． y=±$\frac{1}{2}$x
• C． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$x
• D． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$x

Answer 1

分析 求出橢圓和雙曲線的離心率關(guān)系，結(jié)合雙曲線漸近線的方程 進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由橢圓的方程$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1得a²=16，b²=7，則c²=16-7=9，即a=4，c=3，則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率是橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1的二倍，
∴雙曲線的離心率e=2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，
則$\frac{a}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線漸近線的求解，根據(jù)雙曲線離心率和橢圓離心率的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．