Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，直線(xiàn)l：x-my-1=0（m∈R）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線(xiàn)l₁，設(shè)直線(xiàn)l₁與定直線(xiàn)l₂：x=4交于點(diǎn)P，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線(xiàn)BP是否過(guò)定點(diǎn)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，直線(xiàn)l：x-my-1=0（m∈R）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）令m=0，則A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）或A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$），從而得到滿(mǎn)足題意的定點(diǎn)只能是（$\frac{5}{2}$，0），設(shè)為D點(diǎn)，再證明P、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．由此得到BP恒過(guò)定點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，直線(xiàn)l：x-my-1=0（m∈R）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，
∴由題設(shè)，得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）令m=0，則A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）或A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）時(shí)，P（4，$\frac{3}{2}$），直線(xiàn)BP：y=x-$\frac{5}{2}$，
當(dāng)A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，P（4，-$\frac{3}{2}$），直線(xiàn)BP：y=-x+$\frac{5}{2}$，
∴滿(mǎn)足題意的定點(diǎn)只能是（$\frac{5}{2}$，0），設(shè)為D點(diǎn)，下面證明P、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA垂直于y軸，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y₁，從而只要證明P（4，y₁）在直線(xiàn)BD上，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∵△=144（1+m²）＞0，∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，①
∵k_DB-k_DP=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$-$\frac{{y}_{1}-0}{4-\frac{5}{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+1-\frac{5}{2}}$-$\frac{{y}_{1}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}{y}_{2}-{y}_{1}（m{y}_{2}-\frac{3}{2}）}{\frac{3}{2}（m{y}_{2}-\frac{3}{2}）}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}-\frac{2}{3}m{y}_{1}{y}_{2}}{m{y}_{2}-\frac{3}{2}}$，
①式代入上式，得k_DB-k_DP=0，∴k_DB=k_DP，
∴點(diǎn)P（4，y₁）恒在直線(xiàn)BD上，從而P、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，即BP恒過(guò)定點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．