Question

2．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow$|=1．
（1）若對任意的實數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，求向量$\overrightarrow$．
（2）在條件（1）下，令$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（sin2α-2cosα）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{4}$sin²2α）$\overrightarrow{a}$+（cosα）$\overrightarrow$，α是銳角，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求角α．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow$|=1．可設$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ）．θ∈$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，化為：2t²+$（sinθ-\sqrt{3}cosθ）$t≥0，根據(jù)對任意的實數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，可得△≤0，解出即可得出．
（2）在條件（1）下，$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，化為：sin²2α+2sin2αcosα-4cos²α=0，α是銳角，解得sin2α=$（\sqrt{5}-1）$cosα，進而得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow$=（x，y）（x＞0），且|$\overrightarrow$|=1，∴可設$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ），θ∈$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$（\sqrt{3}t-cosθ，-t-sinθ）$，
|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\sqrt{3}t-cosθ）^{2}+（t+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}+（2sinθ-2\sqrt{3}cosθ）t+1}$，
|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，化為：2t²+$（sinθ-\sqrt{3}cosθ）$t≥0，
∵對任意的實數(shù)t都有|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥1，∴$（sinθ-\sqrt{3}cosθ）^{2}$-0≤0，
∴sinθ-$\sqrt{3}$cosθ=0，
∴tanθ=$\sqrt{3}$，
∵θ∈$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
（2）在條件（1）下，$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
${\overrightarrow{a}}^{2}$=2，${\overrightarrow}^{2}$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{4}$sin²2α）${\overrightarrow{a}}^{2}$+（sin2αcosα-2cos²α）${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴$\frac{1}{2}$sin²2α+（sin2αcosα-2cos²α）=0，
化為：sin²2α+2sin2αcosα-4cos²α=0，α是銳角，
解得sin2α=$（\sqrt{5}-1）$cosα，
∴sinα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴α=arcsin$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質、和差公式、倍角公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．