Question

18．若橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的焦點(diǎn)相同且a₁＞a₂．給出如下四個(gè)結(jié)論：
①橢圓C₁與橢圓C₂一定沒(méi)有公共點(diǎn)        
②$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＞$\frac{_{1}}{_{2}}$
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²
④a₁-a₂=b₁-b₂
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 先由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，從而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，下面從兩個(gè)方面來(lái)看：一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，從而①成立；②不成立；另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）⇒a₁-b₁＜a₂-b₂，從而④成立；從而得出正確答案．

解答 解：由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，從而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，
一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，從而①成立；
若在a₁²-a₂²=b₁²-b₂²中，a₁=2，a₂=$\sqrt{2}$，b₁=$\sqrt{3}$，b₂=1，
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{_{1}}{_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，有：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＜$\frac{_{1}}{_{2}}$，
故②不成立；
另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）
由于a₁+b₁＞a₂+b₂
∴a₁-b₁＜a₂-b₂，
從而④成立；
∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．