Question

9．設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且$ef（x）-{f^'}（1）{e^x}+ef（0）x-\frac{1}{2}e{x^2}=0$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出f（0），f′（1）的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題化為m=e^x-x，x∈[-1，2]，令h（x）=e^x-x，x∈[-1，2]，求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-f（0）x+\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$f'（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-f（0）+x$，…（2分）
∴f'（1）=f'（1）-f（0）+1，
∴f（0）=1，…（3分）
∴$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-x+\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$f（0）=\frac{f'（1）}{e}-0+0$，
∴f'（1）=e．…（4分）
可得：$f（x）={e^x}-x+\frac{1}{2}{x^2}$．…（6分）
（2）由$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$，化為m=e^x-x，x∈[-1，2]．
令h（x）=e^x-x，x∈[-1，2]，
∴h'（x）=e^x-1，…（7分）
令h'（x）＞0，解得0＜x≤2，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
令h'（x）＜0，解得-1≤x＜0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．…（8分）
∴當x=0時，函數(shù)h（x）取得最小值，h（0）=1．…（9分）
而$h（-1）=1+\frac{1}{e}，\;\;h（2）={e^2}-2$．…（10分）∵$1+\frac{1}{e}＜{e^2}-2$．
又∵方程$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個不同的實根，
∴$1＜m≤1+\frac{1}{e}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是$（{1，\;\;1+\frac{1}{e}}]$．…（12分）

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．