Question

20．已知等差數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S₅=30，S₁₀=110，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：b₁=1，b_n+1-2T_n=1．
（1）求S_n與b_n；
（2）比較S_nb_n與2T_na_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數列前n項和公式列出方程組求出首項與公差，由此能求出S_n與b_n；由b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）推導出S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，2T_na_n=2n•（3ⁿ-1），由此利用作差法能比較S_nb_n與2T_na_n的大�。�

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知可得：$\left\{{\begin{array}{l}{5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=30}\\{10{a_1}+\frac{10×9}{2}d=110}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$．
對數列{b_n}，由已知有b₂-2T₁=1，即b₂=2b₁+1=3，
∴b₂=3b₁，①
又由已知b_n+1-2T_n=1，可得b_n-2T_n-1=1（n≥2，n∈N*），
兩式相減得b_n+1-b_n-2（T_n-T_n-1）=0，即b_n+1-b_n-2b_n=0（n≥2，n∈N*），
整理得b_n+1=3b_n（n≥2，n∈N*），
結合①得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=3$（常數），n∈N*，
∴數列{b_n}是以b₁=1為首項，3為公比的等比數列，
∴${b_n}={3^{n-1}}$．
（2）$2{T_n}={b_{n+1}}-1={3^n}-1$，
∴${S_n}{b_n}=（{n^2}+n）•{3^{n-1}}$，${T_n}{a_n}=2n•（{3^n}-1）$，
于是${S_n}{b_n}-2{T_n}{a_n}=（{n^2}+n）•{3^{n-1}}-2n•（{3^n}-1）=n[{3^{n-1}}（n-5）+2]$，
顯然當n≤4（n∈N*）時，S_nb_n-2T_na_n＜0，即S_nb_n＜2T_na_n；
當n≥5（n∈N*）時，S_nb_n-2T_na_n＞0，即S_nb_n＞2T_na_n，
∴當n≤4（n∈N*）時，S_nb_n＜2T_na_n；當n≥5（n∈N*）時，S_nb_n＞2T_na_n．

點評 本題考查數列的通項公式、前n項和公式的求法，考查兩個數的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意作差法的合理運用．