Question

（2013•懷化二模）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，an-an-1+2anan-1=0，(n∈N*，n＞1)
（Ⅰ） 求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 設(shè)b_n=a_na_n+1，求證：b1+b2+…+bn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，再用放縮法，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）a_n-a_n-1+2a_na_n-1=0兩邊同除以a_na_n-1得：

1

an

-

1

an-1

=2
所以數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列…（3分）
于是

1

an

=2n-1，an=

1

2n-1

，(n∈N*)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn=

1

(2n-1)(2n+1)

則
b1+b2+…+bn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．