Question

設a為常數，且a＜1．
（1）解關于x的不等式（a²-a-1）x＞1；
（2）解關于x的不等式組

2x2-3(1+a)x+6a＞0 0≤x≤1

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）對a進行分類討論，判斷得出a²-a-1的正負，進而可求得其解集；
（2）對a分類討論先求得一元二次不等式2x²-3（1+a）x+6a＞0的解集，再與0≤x≤1求交集即可得出結論．

解答： 解：（1）令a²-a-1=0，解得a1=

1- 5

2

＜0，a2=

1+ 5

2

＞1．
①當a＜

1- 5

2

時，解原不等式，得x＞

1

a2-a-1

，即其解集為{x|x＞

1

a2-a-1

}；
②當a=

1- 5

2

時，解原不等式，得無解，即其解集為φ；            
③當

1- 5

2

＜a＜1時，解原不等式，得x＜

1

a2-a-1

，即其解集為{x|x＜

1

a2-a-1

}．
（2）依2x²-3（1+a）x+6a＞0（*），令2x²-3（1+a）x+6a=0（**），
可得△=9（1+a）²-48a=3（3a-1）（a-3）．
①當

1

3

＜a＜1時，△＜0，此時方程（**）無解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式組的解集為{x|0≤x≤1}；                                         
②當a=

1

3

時，△=0，此時方程（**）有兩個相等的實根x1=x2=

3(1+a)

4

=1，
解不等式（*），得x≠1，故原不等式組的解集為{x|0≤x＜1}；            
③當a＜

1

3

時，△＞0，此時方程（**）有兩個不等的實根x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

，x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

，
且x₃＜x₄，解不等式（*），得x＜x₃或x＞x₄．
x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a+ (1-3a)2+(8-24a)

4

＞

3+3a+1-3a

4

=1，
x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

＜

3+3a

4

＜1，
且x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a- (3-5a)2-16a2

4

≥

3+3a-(3-5a)

4

=2a，
所以當a＞0，可得x₃＞0；又當x₃＞0，可得a＞0，故x₃＞0?a＞0，（
所以ⅰ）當0＜a＜

1

3

時，原不等式組的解集為{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
ⅱ）當a≤0時，原不等式組的解集為φ．
綜上，當a≤0時，原不等式組的解集為φ；當0＜a＜

1

3

時，原不等式組的解集為{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
當a=

1

3

時，原不等式組的解集為{x|0≤x＜1}；當

1

3

＜a＜1時，原不等式組的解集為{x|0≤x≤1}．

點評：本題主要考查含有參數的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查學生分類討論思想的運用能力及運算求解能力，屬于中檔題．