Question

14．如圖所示，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四邊形，DD₁⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）證明：CC₁∥平面A₁BD；
（Ⅲ）若DD₁=AD，求直線CC₁與平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和已知條件求得BD和AD的關(guān)系，進而求得AD²+BD²=AB²，推斷出AD⊥BD，依據(jù)DD₁⊥平面ABCD，可知DD₁⊥BD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）連接AC，A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連接EA₁，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推斷出EC=$\frac{1}{2}$AC，由棱臺定義及AB=2AD=2A₁B₁知A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，進而推斷出四邊形A₁ECC₁是平行四邊形，因此CC₁∥EA₁，最后利用線面平行的判定定理推斷出CC₁∥平面A₁BD．
（Ⅲ）直線EA₁與平面ADD₁A₁所成角=直線CC₁與平面ADD₁A₁所成角．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得
BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD．
∴DD₁⊥BD，
又AD∩DD₁=D，
∴BD⊥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）證明：連接AC，A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連接EA₁，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC，
由棱臺定義及AB=2AD=2A₁B₁知
A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，
∴四邊形A₁ECC₁是平行四邊形，因此CC₁∥EA₁，
又∵EA₁?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD；
（Ⅲ）解：直線EA₁與平面ADD₁A₁所成角=直線CC₁與平面ADD₁A₁所成角，
∵BD⊥平面ADD₁A₁，∴A₁D為EA₁在平面ADD₁A₁上的射影，
∴∠EA₁D是直線EA₁與平面ADD₁A₁所成角，
∵DD₁=AD，AB=2AD，AD=A₁B₁M∠BAD=60°，
∴A₁D₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AD，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，A₁E=$\sqrt{2}$AD，
∴sin∠EA₁D=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直線CC₁與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定，考查線面角．考查了學(xué)生對立體幾何基礎(chǔ)知識的掌握．