Question

過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，設∠BAO=2α（O為坐標原點），當△AOB的周長最小時，cotα=

3

．

Answer 1

分析：先用2α的三角函數(shù)表示△AOB的周長，進而導數(shù)求最值，從而得解．

解答：解：由題意，△AOB的周長可表示為OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+

1

sin2α

+

2

cos2α

令tan2α=t，則周長為y=3+

1

t

+2t+

t2+1

t

+ 2

t2+1

y/=-

1

t2

+2-

1

t2 t2+1

+

2t

t2+1

令y′=0，可得t=

3

4

∵函數(shù)在區(qū)間（0，

3

4

）上單調(diào)減，在（

3

4

，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在t=

3

4

時，取得極小值，且為最小值．
∴當tan2α=

3

4

時，周長最小
∴

2 tanα

1-tan2α

=

3

4

∴tanα=

1

3

∴cotα=3
故答案為：3

點評：本題以直線為載體，考查導數(shù)的運用，計算要細心．