過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長最小時，cotα=________．

3
分析：先用2α的三角函數(shù)表示△AOB的周長，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)求最值，從而得解．
解答：由題意，△AOB的周長可表示為
令tan2α=t，則周長為y=

令y′=0，可得
∵函數(shù)在區(qū)間（0，）上單調(diào)減，在（，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在時，取得極小值，且為最小值．
∴當(dāng)時，周長最小
∴
∴
∴cotα=3
故答案為：3
點(diǎn)評：本題以直線為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，計算要細(xì)心．
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)過點(diǎn)P（2，1）作直線l分別交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l的方程；
（2）當(dāng)|PA|•|PB|取最小值時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長最小時，cotα=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長最小時，cotα=______．

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過P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長最小時，cotα=    ．

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