Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處且傾斜角為

π

3

的切線方程；
（2）若不等式g（x）＜

x+m

x

有解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）定義：對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的任意實數(shù)x₀，稱|f（x₀）-g（x₀）|的值為兩函數(shù)在x₀處的差值．證明：當a=0時，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有差值都大于2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處且傾斜角為

π

3

，先求出a的值，即可求出切線方程；
（2）由題意：e^x＜

x+m

x

有解，即e^x

x

＜x+m有解，因此只需m＞e^x

x

-x，x∈（0，+∞）有解即可；
（3）|f（x）-g（x）|=|ln x-e^x|=e^x-ln x=e^x-x-（ln x-x），設m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），n（x）=ln x-x，x∈（0，+∞），分別確定函數(shù)的范圍，即可得出結論．

解答： （1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0），…（1分）
∴k=f′（1）=a+1=

3

，
∴a=

3

-1…（2分）
∵f（1）=

3

-1   …（3分）
∴切線為y=

3

x-1；…（4分）
（2）解：由題意：e^x＜

x+m

x

有解，即e^x

x

＜x+m有解，
因此只需m＞e^x

x

-x，x∈（0，+∞）有解即可．…（5分）
設h（x）=e^x

x

-x，h′（x）=e^x

x

+

ex

2 x

-1=e^x（

x

+

1

2 x

）-1，…（6分）
∵

x

+

1

2 x

≥

2

＞1，且x∈（0，+∞）時e^x＞1，
∴e^x（

x

+

1

2 x

）-1＞0，即h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上單調增函數(shù)，…（7分）
∴h（x）＞h（0）=0，故m＞0．…（8分）
（3）證明：當a=0時，f（x）=ln x，f（x）與g（x）的公共定義域為（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|ln x-e^x|=e^x-ln x=e^x-x-（ln x-x），…（9分）
設m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）．
∵m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上單調遞增，m（x）＞m（0）=1，…（10分）
又設n（x）=ln x-x，x∈（0，+∞），n′（x）=

1

x

-1，
當x∈（0，1）時，n′（x）＞0，n（x）單調遞增，
當x∈（1，+∞）時，n′（x）＜0，n（x）單調遞減，
∴x=1為n（x）的極大值點，即n（x）≤n（1）=-1，…（11分）
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．
即公共定義域內任一點差值都大于2．…（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查函數(shù)的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，有難度．