Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知向量

a

、

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，點(diǎn)Q滿足

OQ

=2

2

（

a

+

b

），曲線C={P|

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域Ω={P|0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線，則（　�。�

• A、3＜r＜5＜R
• B、3＜r＜5≤R
• C、0＜r≤3＜R＜5
• D、3＜r＜R＜5

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

a

=（1，0），

b

=（0，1），得出P點(diǎn)的軌跡是單位圓，Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域是以Q點(diǎn)為圓心，內(nèi)徑為r，外徑為R的圓環(huán)，
若C∩Ω為兩段分離的曲線，則單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外圓均相交，根據(jù)圓圓相交得到答案．

解答： 解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
不妨設(shè)

a

=（1，0），

b

=（0，1），
則

OQ

=2

2

（

a

+

b

）=（2

2

，2

2

），

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π；
∴P點(diǎn)的軌跡是單位圓，
Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域?yàn)椋?br />以Q點(diǎn)為圓心，內(nèi)徑為r，外徑為R的圓環(huán)；
若C∩Ω為兩段分離的曲線，
則單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外圓均相交，
∴|OQ|-1＜r＜R＜|OQ|+1；
又∵|OQ|=4，
∴3＜r＜R＜5．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)P的軌跡以及Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域，是較難的題目．