Question

9．如圖所示，已知PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，是圓O的圓周上異于A、B的任意一點，且PA=AC，點E是線段PC的中點．求證：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 根據(jù)底面是圓，得到BC⊥AC，再根據(jù)PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，即可證明BC⊥平面PAC，從而可證BC⊥AE，由PA=AC，點E為PC的中點，可證PC⊥AE，即可得證AE⊥平面PBC．

解答 證明：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又∵AE在平面PAC內(nèi)，
∴BC⊥AE．
∵PA=AC，點E為PC的中點
∴PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．

點評 本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于中檔題．