Question

19．過橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$內(nèi)一點R（1，0）作動弦MN，則弦MN中點P的軌跡是（　�。�

• A． 圓
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 拋物線

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），代入橢圓方程可得：$4x_1^2+9y_1^2=36$，$4x_2^2+9y_2^2=36$，
兩式相減并將${x_1}+{x_2}=2x，{y_1}+{y_2}=2y，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y}{x-1}$代入化簡即可得出．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），
代入橢圓方程可得：$4x_1^2+9y_1^2=36$，$4x_2^2+9y_2^2=36$，
兩式相減得4（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
將${x_1}+{x_2}=2x，{y_1}+{y_2}=2y，\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y}{x-1}$代入可得：$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{9}}$=1．
其軌跡為橢圓，
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．