Question

5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為13π

Answer 1

分析 由三視圖還原原圖形，然后找出外接球的球心，求出半徑，則幾何體的外接球的表面積可求．

解答 解：由三視圖可知，原幾何體底面四邊形中，AD=$AB=\sqrt{2}$，AD⊥AB
過C作CH⊥AB于H，則H為AB的中點(diǎn)，連接BD交CH于G，則G為BD中點(diǎn)，
∵CH=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CG=GD=GB=GA=1，
過G作GO∥AP，且使GO=$\frac{1}{2}AP$，則O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，
∵PA=3，
∴GO=$\frac{3}{2}$，又AG=1，
∴$O{A}^{2}=A{G}^{2}+O{G}^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}+1=\frac{13}{4}$．
∴幾何體的外接球的表面積為$4π•O{A}^{2}=4π×\frac{13}{4}=13π$．
故答案為：13π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐及棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原圖形，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．