Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m（m為正整數(shù)），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，當{a_n}為偶數(shù)時\\ 3{a_n}+1，當{a_n}為奇數(shù)時\end{array}$若a₆=1，則m所有可能的取值的個數(shù)為3．

Answer 1

分析 a₆=1，可得a₅必為偶數(shù)，因此${a}_{6}=\frac{{a}_{5}}{2}$=1，解得a₅=2．當a₄為偶數(shù)時，${a}_{5}=\frac{{a}_{4}}{2}$，解得a₄=4；當a₄為奇數(shù)時，a₅=3a₄+1=2，解得a₄=$\frac{1}{3}$，舍去．依此類推即可得出．

解答 解：∵a₆=1，
∴a₅必為偶數(shù)，∴a₆=$\frac{{a}_{5}}{2}$=1，解得a₅=2．
當a₄為偶數(shù)時，a₅=$\frac{{a}_{4}}{2}$，解得a₄=4；當a₄為奇數(shù)時，a₅=3a₄+1=2，解得a₄=$\frac{1}{3}$，舍去．
∴a₄=4．
當a₃為偶數(shù)時，a₄=$\frac{{a}_{3}}{2}$=4，解得a₃=8；當a₃為奇數(shù)時，a₄=3a₃+1=4，解得a₃=1．
當a₃=8時，當a₂為偶數(shù)時，a₃=$\frac{{a}_{2}}{2}$，解得a₂=16；當a₂為奇數(shù)時，a₃=3a₂+1=8，解得a₂=$\frac{7}{3}$，舍去．
當a₃=1時，當a₂為偶數(shù)時，a₃=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，解得a₂=2；當a₂為奇數(shù)時，a₃=3a₂+1=1，解得a₂=0，舍去．
當a₂=16時，當a₁為偶數(shù)時，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$=16，解得a₁=32=m；當a₁為奇數(shù)時，a₂=3a₁+1=16，解得a₁=5=m．
當a₂=2時，當a₁為偶數(shù)時，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，解得a₁=4=m；當a₁為奇數(shù)時，a₂=3a₁+1=2，解得a₁=$\frac{1}{3}$，舍去．
綜上可得m=4，5，32．
故答案為：3．

點評 本題考查了分段函數(shù)求值、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．