Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，對(duì)任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，記

n π

i=1

a_i=a₁•a₂…a_n，則

10 π

i=1

f（6-i）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x-y）=

f(x)

f(y)

，可知f（x-y）f（y）=f（x），利用f（x-y）f（y）=f（x），可把

10 π

i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）轉(zhuǎn)化為求f⁵（1），即可求得答案．

解答： 解：∵記

n π

i=1

a_i=a₁•a₂…a_n，
∴

10 π

i=1

f（6-i）=f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4），
∵對(duì)任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∴f（x-y）f（y）=f（x），
∴f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），
∴則

10 π

i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）=f⁵（1），
∵f（1）=2，
∴f⁵（1）=2⁵=32，
∴

10 π

i=1

f（6-i）=32．
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用題中所給信息把問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，本題的解法可以類比數(shù)列求和中的“倒序相加法”，關(guān)鍵點(diǎn)是抓住f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1）．屬于中檔題．