精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知雙曲線 $數(shù)學(xué)公式$ ，若過右焦點F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．

$\text{[math]}$
分析：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，求得a和b的不等式關(guān)系，進而根據(jù)b= $\text{[math]}$ 轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．
解答：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即 $\text{[math]}$ ＜tan30°= $\text{[math]}$ ，∴b＜ $\text{[math]}$ a
∵b= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ a，
整理得c＜ $\text{[math]}$ a，∴e= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∵雙曲線中e＞1，∴e的范圍是（1， $\text{[math]}$ ）
故答案為：（1， $\text{[math]}$ ）．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

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