已知函數(shù)f(x)=ax3+x2-x(a≠0,a∈R),
(1)若f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)證明:a>0時(shí),f(X)在(-
2
3
a,-
1
3
a)上不存在零點(diǎn).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由題意得f′(x)<-0,解不等式即可;
(2)當(dāng)a>0時(shí),證明函數(shù)f(X)在(-
2
3
a,-
1
3
a)上在是單調(diào)的,確定端點(diǎn)值的符號,即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)∵f(x)=ax3+x2-x,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴在(2,+∞)上恒有f′(x)>0,故a>0,
又f′(x)=3ax2+2x-1,
其對稱軸為x=-
1
3a
<0,
∴只要f′(2)>0,即12a+3>0,a>-
1
4

(2)當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=3ax2+2x-1,
由f′(x)=3ax2+2x-1=0=3a(x+
1
3a
2-
3a+1
3a
,
對稱軸為x=-
1
3a
,所以所給區(qū)間(-
2
3a
,-
1
3a
)在對稱軸左側(cè),
最小值為f′(-
1
3a
)=-
3a+1
3a
,
因?yàn)閍>0,所以f′(-
1
3a
)=-
3a+1
3a
<0,
即在區(qū)間(-
2
3a
,-
1
3a
)上,f'(x)<0恒成立,
所以所給區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間.
f(-
2
3a
)=
18+4
27a2
>0,f(-
1
3a
)=-
3a+1
3a
>0,
所以在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上無零點(diǎn).
即函數(shù)在(-
2
3a
,-
1
3a
)上不存在零點(diǎn).
點(diǎn)評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng)難度較大.
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復(fù)數(shù)1+i+i2+i3+…+i2006=( 。
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3
x+3的傾斜角為(  )
A、30°B、60°
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已知集合A=[-1,1],B=[-
2
2
2
2
],函數(shù)f(x)=2x2+mx-1;
(1)設(shè)不等式f(x)≤0的解集為C,當(dāng)C是A∪B的子集時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對任意實(shí)數(shù)x,均有f(x)≥f(1)成立,求x屬于B時(shí),f(x)的值域;
(3)設(shè)g(x)=|x-a|-x2-mx﹙a∈R﹚求f(x)+g(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinB=msin(2A+B),且tan(A+B)=3tanA,則實(shí)數(shù)m的值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用下列符號“∈,∉,⊆,?,=”填空
①{a,e}
 
{a,b,c,d,e};
61
 
{x|x≤8};
③{x|x≤3}
 
{x|x≤-1};
④{菱形}
 
{平行四邊形};
⑤{x|x=2n-1,n∈Z+}
 
{x|x=2n+1,n∈Z+}.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x=
2
cosα
y=sinα

(1)求方向向量為
a
=(-1,-2)的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.(即斜率為2)
(2)過A(2,1)的直線L與橢圓相交,求L被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程;
(3)過點(diǎn)P(
1
2
,
1
2
)且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若方程ax2+5x+c=0的解的集合是{
1
2
1
3
},則a=
 
,c=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|x2-2x-8>0},B={x||x-2|<m}.
(1)當(dāng)A∩B=∅時(shí),求m的取值范圍;
(2)當(dāng)(∁RB)⊆A時(shí),求m的取值范圍.

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