Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（3）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）首先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)參數(shù)取值的不確定性，對(duì)其進(jìn)行分類討論求解，分類討論不要出現(xiàn)遺漏，不要出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象；（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).

試題解析： 【解析】
1分

（1）當(dāng)時(shí)，，，

∴所求的切線方程為，

即. 4分

（2）①當(dāng)，即時(shí)，

，在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)，即時(shí)，

或時(shí)，；2時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，；

時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 9分

（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)滿足條件，不妨設(shè)2.

由知成立，

令，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

即在上恒成立．

，故存在這樣的實(shí)數(shù)滿足題意，

其范圍為 14分

考點(diǎn)：1、求曲線的切線方程；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；3、與函數(shù)有關(guān)的探索性問題.