Question

13．若f（x）=-x²+2ax與g（x）=$\frac{1}{x+a}$在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [0，1]
• C． （-2，-1）∪（-1，1]
• D． （-∞，-2）∪（-1，1]

Answer 1

分析 f（x）是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，所以在對(duì)稱軸右側(cè)為減函數(shù)，又因?yàn)閒（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以區(qū)間[1，2]為函減區(qū)間的子區(qū)間，通過(guò)比較函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間與區(qū)間[1，2]的端點(diǎn)的大小，可求出a的一個(gè)范圍，因?yàn)間（x）是反比例函數(shù)通過(guò)左右平移得到的，所以函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+a}$在區(qū)間（-∞，-a）和（-a，+∞）上均為減函數(shù)，這樣，有得到a的一個(gè)范圍，兩個(gè)范圍求公共部分，即得a的值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-x²+2ax的對(duì)稱軸為x=a，開(kāi)口向下，
∴單調(diào)間區(qū)間為[a，+∞）
又∵f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴a≤1
∵函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+a}$在區(qū)間（-∞，-a）和（-a，+∞）上均為減函數(shù)，
∵g（x）=$\frac{1}{x+a}$在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴-a＞2，或-a＜1，
即a＜-2，或a＞-1，
綜上得a∈（-∞，-2）∪（-1，1]，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及根據(jù)所給函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍．