Question

5．四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，2），B（4，6），C（2，6），直線(xiàn)y=kx（$\frac{1}{3}$＜k＜3）把四邊形OABC分成兩部分，S表示靠近x軸一側(cè)那部分的面積．
（1）求S=f（k）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，直線(xiàn)y=kx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分．

Answer 1

分析 （1）由題意畫(huà)出圖象，求出|OA|、|BC|、直線(xiàn)OA的方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出點(diǎn)B到直線(xiàn)OA的距離，求出四邊形OABC的面積S，根據(jù)圖象分類(lèi)討論，分別由圖象求出靠近x軸一側(cè)那部分的面積表達(dá)式，再用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)；
（2）由（1）和條件列出方程求出k的值．

解答 解：（1）由題意畫(huà)出圖象：|OA|=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，|BC|=2，
直線(xiàn)OA的方程是y=$\frac{1}{3}$x，則x-3y=0，
∴點(diǎn)B到直線(xiàn)OA的距離d=$\frac{|4-18|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{14}{\sqrt{10}}$，
則四邊形OABC的面積S=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\frac{14}{\sqrt{10}}+\frac{1}{2}×2×6$=20，
①當(dāng)直線(xiàn)y=kx與AB相交時(shí)，此時(shí)$\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}$，
由A（6，2），B（4，6），得直線(xiàn)AB的方程是y-2=$\frac{6-2}{4-6}$（x-6），即y=-2x+14，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-2x+14}\end{array}\right.$得，x=$\frac{14}{k+2}$，y=$\frac{14k}{k+2}$，
∴直線(xiàn)AB與直線(xiàn)y=kx的交點(diǎn)坐標(biāo)是P（$\frac{14}{k+2}$，$\frac{14k}{k+2}$），
則點(diǎn)P到直線(xiàn)OA的距離d′=$\frac{|\frac{14}{k+2}-3×\frac{14k}{k+2}|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{14|}{\sqrt{10}}|\frac{1-3k}{k+2}|$，
∴△POA的面積S=$\frac{1}{2}×|OA|×d′$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\frac{14|}{\sqrt{10}}|\frac{1-3k}{k+2}|$=$14|\frac{1-3k}{k+2}|$；
②當(dāng)直線(xiàn)y=kx與BC相交時(shí)，此時(shí)$\frac{3}{2}＜k＜3$，
則交點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{6}{k}$，6），
∴靠近x軸一側(cè)那部分的面積S=20-$\frac{1}{2}×6×（\frac{6}{k}-2）$=$26-\frac{18}{k}$，
∴S=f（k）=$\left\{\begin{array}{l}{14|\frac{1-3k}{k+2}|，\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}}\\{26-\frac{18}{k}，\frac{3}{2}＜k＜3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，當(dāng)直線(xiàn)y=kx與AB相交時(shí)，此時(shí)$\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}$，
直線(xiàn)y=kx可將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，
∴$14|\frac{1-3k}{k+2}|$=$\frac{1}{2}×20$，解得k=$\frac{-3}{26}$或$\frac{17}{16}$，
則k的值是$\frac{17}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，直線(xiàn)方程的求法等等，以及分割法求圖形的面積，考查分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．