Question

17．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=-x²+2x．設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n的取值范圍是（　　）

• A． [1，$\frac{3}{2}$）
• B． [1，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，2）
• D． [$\frac{3}{2}$，2]

Answer 1

分析 通過函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2）可知函數(shù)向右平移2個單位時最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函數(shù)向右平移2個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，
又∵當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$∈$[1，\frac{3}{2}）$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象變換、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．