Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在定義域上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在定義域上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{-x}-1}{（\frac{1}{2}）^{-x}+1}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{x}}{1+（\frac{1}{2}）^{x}}$=-$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$=-f（x）．
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明f（x）在定義域上單調(diào)遞減．
f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$=$\frac{{（\frac{1}{2}）}^{x}+1-2}{{（\frac{1}{2}）}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$，
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}-（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}]}{[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1][（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1]}$，
∵x₁＜x₂，
∴$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$，即$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在定義域上單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關鍵．