Question

7．網(wǎng)上購物逐步走進大學生活，某大學學生宿舍4人積極參加網(wǎng)購，大家約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數(shù)為5或6的人去淘寶網(wǎng)購物，擲出點數(shù)小于5的人去京東商場購物，且參加者必須從淘寶和京東商城選擇一家購物．
（Ⅰ）求這4人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分別表示這4人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購物的人數(shù)，記X=ξη，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)購物的概率為$\frac{1}{3}$，去京東網(wǎng)購物的概率為$\frac{2}{3}$，設“這4個人中恰有i個人去淘寶網(wǎng)購物”為事件A_i，則$P（{A}_{i}）={C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），由此能求出這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值為0，3，4，P（X=0）=P（A₀）+P（A₄），P（X=3）=P（A₁）+P（A₃），P（X=4）=P（A₂），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)購物的概率為$\frac{1}{3}$，去京東網(wǎng)購物的概率為$\frac{2}{3}$，
設“這4個人中恰有i個人去淘寶網(wǎng)購物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
則$P（{A}_{i}）={C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），
這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率$P（{A}_{1}）={C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值為0，3，4，
P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

∴EX=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．