Question

如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，|AB|=5，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，且|AM|=2，點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動(dòng)而變化．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)F₁為點(diǎn)M的軌跡的左焦點(diǎn)，F(xiàn)₂為右焦點(diǎn)，過F₁的直線交M的軌跡于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值，并求此時(shí)直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用代入法，即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得，換元，利用基本不等式，即可求面積的最大值，從而求此時(shí)直線PQ的方程．
解答：解：（1）由題可知AM=AB，且可設(shè)A（x，0），M（x，y），B（0，y），
則可得，
又|AB|=5，即，∴，這就是點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由（1）知F₁為（，0），F(xiàn)₂為（，0），
由題設(shè)PQ為，
直線方程代入橢圓方程，可得（4m²+9）y²--16=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則△＞0恒成立，且，
∴==
令t=（t≥1），則=≤6，
當(dāng)且僅當(dāng)，即m=時(shí)取“=”
∴的最大值為6，
此時(shí)PQ的方程為2x+y-2=0或2x-y-2=0．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．