如圖,線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=5,點(diǎn)M是AB上一點(diǎn),且|AM|=2,點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動而變化.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)F1為點(diǎn)M的軌跡的左焦點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),過F1的直線交M的軌跡于P,Q兩點(diǎn),求S△PQF2的最大值,并求此時直線PQ的方程.
分析:(1)利用代入法,即可求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,可得S△PQF2,換元,利用基本不等式,即可求面積的最大值,從而求此時直線PQ的方程.
解答:解:(1)由題可知AM=
2
5
AB,且可設(shè)A(x0,0),M(x,y),B(0,y0),
則可得x0=
5
3
x,y0=
5
2
y

又|AB|=5,即x02+y02=25,∴
x2
9
+
y2
4
=1
,這就是點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)由(1)知F1為(-
5
,0),F(xiàn)2為(
5
,0),
由題設(shè)PQ為x=my-
5

直線方程代入橢圓方程,可得(4m2+9)y2-8
5
my
-16=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則△>0恒成立,y1+y2=
8
5
m
4m2+9
y1y2=
-16
4m2+9
,
S△PQF2=
1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)
=
5
|y1-y2|
=24
5
m2+1
4m2+9

令t=
m2+1
(t≥1),則S△PQF1=24
5
1
4t+
5
t
≤6,
當(dāng)且僅當(dāng)t=
5
2
,即m=±
1
2
時取“=”
S△PQF2的最大值為6,
此時PQ的方程為2x+y-2
5
=0或2x-y-2
5
=0.
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州市2006―2007學(xué)年度高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題[成套]蘇教版 題型:044

如圖,線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=5,點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn),且(>0).

(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指明軌跡E是何種曲線;

(2)當(dāng)λ=時,過點(diǎn)P(1,1)的直線與軌跡E交于C、D兩點(diǎn),且P為弦CD的中點(diǎn),求直線CD的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸,y軸上滑動,,點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn),且點(diǎn)M隨線段AB的滑動而運(yùn)動.

(I)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程

(II)過定點(diǎn)N的直線交曲線E于C、D兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)P,若的值

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省臺州市高三上學(xué)期第三次統(tǒng)練理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

如圖,線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸,y軸上滑動,,點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn),且點(diǎn)M隨線段AB的滑動而運(yùn)動。

   (I)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程

   (II)過定點(diǎn)N的直線交曲線E于

C、D兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)P,若

的值

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省濟(jì)寧市梁山一中高二(下)3月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=5,點(diǎn)M是AB上一點(diǎn),且|AM|=2,點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動而變化.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)F1為點(diǎn)M的軌跡的左焦點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),過F1的直線交M的軌跡于P,Q兩點(diǎn),求的最大值,并求此時直線PQ的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案