Question

2．平面內(nèi)三個(gè)向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3）滿足$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{2}}$，|$\overrightarrow{{a}_{i}}$-$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$|=1（規(guī)定$\overrightarrow{{a}_{4}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$），則（　�。�

• A． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=0
• B． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=-1
• C． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{3}{4}$
• D． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知三向量起點(diǎn)在圓上，終點(diǎn)組成邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，建立坐標(biāo)系，設(shè)起點(diǎn)坐標(biāo)，表示出各向量的數(shù)量積，利用三角恒等變換求出最值即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$-$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$|=1，∴△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，∴M在以AB為直徑的圓上，
以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面坐標(biāo)系，則A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)M（$\frac{1}{2}$cosα，$\frac{1}{2}$sinα），
則$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα，-$\frac{1}{2}$sinα），$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cosα，-$\frac{1}{2}$sinα），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{1}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{2}$cosα（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cosα）+$\frac{1}{2}$sinα（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}$的最大值為$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，最小值為$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$．
由圖形的對(duì)稱性可知$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}$的最大值為$\frac{3}{4}$，最小值為-$\frac{1}{4}$．
又$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴（$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{3}{4}$，（$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=-$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．