Question

12．已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ，α內(nèi)一點(diǎn)C到β的距離為3，點(diǎn)C到棱AB的距離為4，那么cosθ的值等于（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Answer 1

分析 作CO⊥β，垂足為O，CD⊥AB，垂足為D，連接DO，推導(dǎo)出∠CDO=θ，由此能求出cosθ．

解答 解：如圖所示，CO⊥β，垂足為O，CD⊥AB，垂足為D，
且CO=3，CD=4，連接DO，
∵CO⊥β，∴CO⊥DO，
∴在Rt△CDO中，DO=$\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
∵CO⊥β，AB?β，
∴CO⊥AB，即AB⊥CO，又AB⊥CD，CD∩CO=C，
∴AB⊥平面CDO，DO?平面CDO，∴AB⊥DO，
∴∠CDO是二面角α-AB-β的平面角，∴∠CDO=θ，
∴cosθ=$\frac{DO}{CD}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．